Курсова работа по Висша математика

1. Точките  A, M, N, B  са върху една права (в този ред), като  |MN| =  |AB|,  M  е среда на отсечката  AB  и  A(5, 3),  B(7, –5).  Намерете координатите на точките  M  и  N.

а)  M(6, –1),  N(4, 3);
б)  M(2, 7),  N( , – );
в)  M(11, 0),  N(19/3, -10/3);
г)  M(6, –1),  N(20/3, -11/3).
2. В триъгълника  ABC  са дадени върхът  С(1, 5)  и средите  A1(3, 3)  и  C1(3, 1),  съответно на отсечките  BC  и  AB.  Намерете ъгъла между медианата при върха  A  и отсечката  АВ.


а)  120º;
б)  60º;
в)  30º;
г)  45º.

3. Намерете лицето на триъгълник  ABC,  където  A(0, 3),  B(4, 0), С(3,  ).
а) 25/6
б) 24/7
в) 18/7
г)  3,5.

4. Дадени са точките A(0, 3),  B(5, 0), С(1,4)  и  D(a, 4), където  a  е параметър и  a ≠ 1.  Определете стойностите на параметъра  a,  за които ъглополовящите на ъглите  ACB  и  ADB,  съответно в триъгълниците  ABC  и  ABD,  пресичат страната  AB  в една и съща точка.
а) няма такава стойност на параметъра;
б) a = 12,5;
в) a = -5/3;
г) a = 3,   4.

5. Точката  A(3a, 5)  е извън окръжността

            x2 + y2  2x – 2y + 1 = 0,

ако стойностите на параметъра  a  са:

а) a  (2, + ∞);
б) a  (1, 7);
в) a  (∞, + ∞);
г) няма такава стойност на параметъра.

6. Дадени са окръжността
x2 + (y  4)2 = R2

и точките  A(2, 2)  и  B(4, 1).  Намерете стойността на радиуса  R,  така че окръжността да се допира до правата  AB.
а) R = Корен от 21;
б) R = 14;
в) R = 4,5;
г) R = Корен от 20.

7. За кои стойности на параметъра  a  съществуват допирателни към окръжността

(x  1)2 + y 2 = 4
през точката   A(0, a)?

а) (∞, –  ]  [4, ;
б) (7, 12]  (13, + ∞);
в) няма такава стойност на параметъра;
г) (∞, –  ]  [ , + ∞).

8. Дадени са точките  A(1, 1)  и  B(2, 2).  Върху окръжността

(x + 1)2 + (y +1  4 )2 = 2

намерете точка  C,  за която лицето на  ∆ ABC  е минимално.

а) x = 0,  y = 4 2;
б) x = 1,  y = 1;
в) x = 2,  y = 8;
г) x =  1,  y =  4  1 + .

9. Намерете стойността на детерминантата

∆ = |█(■(3&0&2)   1@■(2&1&0)   3@■(0&1&3)   2@■(1&2&0)   3)|.

а) 23;
б) – 24;
в) – 18;
г) 41.

10. Дадена е матрицата
A =(█(■(1&2&1)   2@■(0&1&0)   1@■(3&0&0)   3@■(1&2&0)   1)).

Проверете, че съществува  A–1.  Елементите на матрицата  B = A–1  означаваме с  bij ,       i = 1, …, 4, j = 1, …, 4.  Намерете стойността на   b32 + b43.

а)  ;
б) 17;
в) –  ;
г)  .

11. При кои стойности на параметъра  p,  матриците

A = (■(p&p+1/2@1&0))   и   B = (■(1&2@2&0))
са комутативни?

а) p =  ;
б) p = 1;
в) p = 3;
г) няма такава стойност на параметъра  p.

12. Намерете стойностите на ранга на матрицата

А = (■(2&2&5@a&3&a^2@2&1&a))

в зависимост от стойностите на параметъра  a.

а) за  a = , r = 2, за  a ≠ , r = 3;
б) за  a = , r = 3, за  a ≠ , r = 2;

в) За всяко a,  r = 3;
г) за a = 4, r = 3; за  a = 5, r = 2.

13. За кои стойности на параметъра  a,  системата от линейни уравнения

4x1 + 3x2 = 6
2x1 + x2 = a + 1
ax1 – x2 =11
има само едно решение?

а) само  2;
б) –   и  3;
в) няма такава стойност на параметъра  a;
г) 1, –3.

14. За кои стойности на параметъра  λ,  системата

λx1 + x2 + x3 = 1
x1 + λx2 + x3 = λ
x1 + x2 + λx3 = λ2
няма решение?

а) λ = – 2,  3;
б) λ = 1,  2;
в) λ = – 2;
г) няма такава стойност на параметъра  λ.

15. За матричното уравнение

(■(2&1&0@0&1&2@3&3&4)).X= (■(1&2@3&4@5&6)),

ако съществува решение, определете елемента  x32  на матрицата  X.

а) не съществува решение;
б) x32 = 8;
в) x32 = 1;
г) x32 =  3.

16. Намерете множеството от решения на системата от неравенства

  2y – x ≥ 2
   y – 3x ≤  3
   x + y ≤ 10.

Определете лицето на получената фигура.

а) S =  ;
б) S =  ;
в) S = 14;
г) S =  .

17. Намерете максималната стойност на

z = 6x + 3y

върху множеството от решения на системата от неравенства

3y – 2x ≤ 9
y ≥ x
x + y ≥ 2
y + 5x ≤ 20
x, y ≥ 0.


а) zmax = 34;
б) zmax = 31;
в) zmax = 30;
г) zmax = 33.

18. Намерете точката, в която се достига максималната стойност на функцията

z = 18x + 20y

върху множеството от решения на системата от неравенства

9x + 10y ≤ 90
3x – 2y ≥ 0
x + 2y ≥ 2
4y – 3x ≤ 6
x, y ≥ 0.

а) x = 5,  y = 7;
б) x = 6, y = 6,5;
в) x = 1,  y = 8;
г) x =  ,  y =  .

19. Намерете максималната стойност на

z(x) = x1 + 23x2 + 3x3 + 25x4

при следните ограничения

x1 + x2          + 2x4        + x6 = 14
      7x2 + x3 + 3x4         + 2x6 = 27
      2x2         + 2x4 + x5 + 3x6 = 12
xj ≥ 0,  j = 1, 2, …, 6

а) zmax = 169;
б) zmax = 181;
в) zmax = 179;
г) zmax = 176.


20. Оптималното решение на задачата

min{z(x) = 14x1 + 10x2 + 20x3 + 7x4+ 6x5 + 4x6}

при следните ограничения

  4x1 + x2  + 5x3                – 7x6 = 43
  2x1         + 3x3 + x4          + 8x6 = 24
– 7x1         + 4x3        + x5  – 2x6 = 38
   xj ≥ 0,  j = 1, 2, …, 6,
е
а) xopt = (0, 8, 3, 0, 6, 0),  zmin = 176;
б) xopt = (0, 3, 8, 0, 6, 0),  zmin = 226;
в) xopt = (0, 10, 5, 6, 0, 0),  zmin = 270;
г) xopt = (0, 3, 6, 0, 10, 0),  zmin = 220.