Отговори
# 690
  • Мнения: 8 208
Задача за 6и клас от Салабашев тази година

Числото a има 11 делители, включително 1 и самото число. Най-големият общ делител d на а и числото 216 не е равен на 1. Колко е броят на делителите на d?

Помагайте, че от няколко дена сън не мога да спя заради тази задача. Smiley
Как въобще трябва да се подходи към нея? Мога да намеря всички делители на 216, но после какво?

# 691
  • Мнения: 127
Задача за 6и клас от Салабашев тази година

Числото a има 11 делители, включително 1 и самото число. Най-големият общ делител d на а и числото 216 не е равен на 1. Колко е броят на делителите на d?

Помагайте, че от няколко дена сън не мога да спя заради тази задача. Smiley
Как въобще трябва да се подходи към нея? Мога да намеря всички делители на 216, но после какво?
От 11 просто, имаме а=р^10, където р просто.
216=2^3.3^3
Щом d>1, то р=2 или р=3, значи d=р^3 или има точно 4 делителя.

# 692
  • Мнения: 204
Задача за 6и клас от Салабашев тази година
Числото a има 11 делители, включително 1 и самото число. Най-големият общ делител d на а и числото 216 не е равен на 1. Колко е броят на делителите на d?

Помагайте, че от няколко дена сън не мога да спя заради тази задача. Smiley
Как въобще трябва да се подходи към нея? Мога да намеря всички делители на 216, но после какво?
Първо да си припомним как се намира броят на делителите на естествено число. Ако числото се разлага на прости множители така p1k1*p2k2...pnkn, то броят на делителите му е (k1+1)(k2+1)...(kn+1). (редактирано)

Щом а има 11 делителя, значи е от вида а=m10, m e просто.
От друга страна, 216=23*33 и двете числа имат общ делител, различен от 1. Значи m е 2 или 3.
Тогава най-големият общ делител на а и 216 е d=23 или d=33. И в двата случая броят на делителите на d е 4.

Последна редакция: нд, 16 дек 2018, 13:44 от Staniolka

# 693
  • Мнения: 8 208
Много благодаря! Разбрах.

# 694
  • Мнения: 310
Бихте ли помогнали с първа задача, че с детето получаваме различни отговори та да видим кой бърка.

# 695
  • Мнения: 204
Бихте ли помогнали с първа задача, че с детето получаваме различни отговори та да видим кой бърка.
Ако не съм сгрешила в сметките, A=8/5, B=7/3, C=14/9, D=3/2.
След привеждане под общ знаменател (90), получавам A=144/90, B=210/90, C=140/90, D=135/90 и D<C<A<B.

# 696
  • Мнения: 19 272
Дурсита, може ли да пуснеш снимка на цялата олимпиада тук?

# 697
# 698
  • Мнения: 8 208
Задача за 6и клас от Салабашев тази година
Числото a има 11 делители, включително 1 и самото число. Най-големият общ делител d на а и числото 216 не е равен на 1. Колко е броят на делителите на d?

Помагайте, че от няколко дена сън не мога да спя заради тази задача. Smiley
Как въобще трябва да се подходи към нея? Мога да намеря всички делители на 216, но после какво?
Първо да си припомним как се намира броят на делителите на естествено число. Ако числото се разлага на прости множители така p1k1*p2k2...pnkn, то броят на делителите му е (k1+1)(k2+2)...(kn+n).

Щом а има 11 делителя, значи е от вида а=m10, m e просто.
От друга страна, 216=23*33 и двете числа имат общ делител, различен от 1. Значи m е 2 или 3.
Тогава най-големият общ делител на а и 216 е d=23 или d=33. И в двата случая броят на делителите на d е 4.

Само да вмъкна, че по-горе формулата трябва да е  (k1+1)(k2+1)...(kn+1)
Трябваше ми известно време да се усетя защо не ми излизат бройките на делителите за разкичните числа, с които я пробвах. А всички справочници вкъщи мълчаха по въпроса Simple Smile

# 699
  • Мнения: 204

Първо да си припомним как се намира броят на делителите на естествено число. Ако числото се разлага на прости множители така p1k1*p2k2...pnkn, то броят на делителите му е (k1+1)(k2+2)...(kn+n).

Щом а има 11 делителя, значи е от вида а=m10, m e просто.
От друга страна, 216=23*33 и двете числа имат общ делител, различен от 1. Значи m е 2 или 3.
Тогава най-големият общ делител на а и 216 е d=23 или d=33. И в двата случая броят на делителите на d е 4.

Само да вмъкна, че по-горе формулата трябва да е  (k1+1)(k2+1)...(kn+1)
Трябваше ми известно време да се усетя защо не ми излизат бройките на делителите за разкичните числа, с които я пробвах. А всички справочници вкъщи мълчаха по въпроса Simple Smile

Ужасно съжалявам. Точно тази е формулата. Бях се концентрирала върху оформянето на индексите, вместо върху съдържанието на формулата Disappointed.

Пак да попитам:
Някой може ли да помогне за вероятностите, които пуснах по-горе (втора задача за 9 клас от НОМ)?

# 700
  • Мнения: 127
Задача за 9. клас от днешния общински кръг на олимпиадата в София.

В група от 36 ученици от девети клас 24 говорят английски, а 20 говорят немски. По случаен начин избираме група от четири ученици.
а) Каква е вероятността трима да говорят само английски, а един само немски?
б) Каква е вероятността поне двама да говорят и двата езика?
Ако предположим, че всеки знае поне по един език, то тогава имаме 24+20-36=8, които знаят и двата езика. Съответно 24-8=16 само английски и 20-8=12 само немски. Ще ползвам C(n,k) да означавам комбинации от n елемента k-ти клас.
Начините по които по случаен начин може да изберем 4 ученика е С(36,4)=58905
а) Да изберем 3-ма само английски по C(16,3) и един само немски C(12,1). Вероятността е C(16,3).C(12,1)/С(36,4)=560.12/58905=64/561~11.4%
б) Да изберем двама да говорят и 2-та езика С(8,2) и 2-ма да говорят само един език С(28,2). 3-ма и двата езика С(8,3) и 1 само един език С(28,1). 4-ма и двата езика C(8,4). Или поне 2-ма да говорят и можем да изберем по С(8,2).С(28,2) + С(8,3).С(28,1) + C(8,4)=10584 + 1568 + 70=12222 начина или вероятността става 12222/58905=194/935~20.75%

Ако наистина не е дадено, че всеки знае поне по един език става по-сложно ще трябва да се изчили вероятността да има ученици (0 до 12), които не знаят нито един език и за всеки от подслучаите да се умножи по вероятността при така разпределените ученици да се случи това което се иска в подточка а и б.

# 701
  • Мнения: 204
Задача за 9. клас от днешния общински кръг на олимпиадата в София.

В група от 36 ученици от девети клас 24 говорят английски, а 20 говорят немски. По случаен начин избираме група от четири ученици.
а) Каква е вероятността трима да говорят само английски, а един само немски?
б) Каква е вероятността поне двама да говорят и двата езика?
Ако предположим, че всеки знае поне по един език, то тогава имаме 24+20-36=8, които знаят и двата езика. Съответно 24-8=16 само английски и 20-8=12 само немски. Ще ползвам C(n,k) да означавам комбинации от n елемента k-ти клас.
Начините по които по случаен начин може да изберем 4 ученика е С(36,4)=58905
а) Да изберем 3-ма само английски по C(16,3) и един само немски C(12,1). Вероятността е C(16,3).C(12,1)/С(36,4)=560.12/58905=64/561~11.4%
б) Да изберем двама да говорят и 2-та езика С(8,2) и 2-ма да говорят само един език С(28,2). 3-ма и двата езика С(8,3) и 1 само един език С(28,1). 4-ма и двата езика C(8,4). Или поне 2-ма да говорят и можем да изберем по С(8,2).С(28,2) + С(8,3).С(28,1) + C(8,4)=10584 + 1568 + 70=12222 начина или вероятността става 12222/58905=194/935~20.75%

Ако наистина не е дадено, че всеки знае поне по един език става по-сложно ще трябва да се изчили вероятността да има ученици (0 до 12), които не знаят нито един език и за всеки от подслучаите да се умножи по вероятността при така разпределените ученици да се случи това което се иска в подточка а и б.
Много благодаря. Наистина не е дадено, че всеки знае поне един език.

# 702
  • Мнения: 127
Нямам наблюдение с каква трудност вървят задачите за 9 клас, но за първи кръг ми се струва, че авторите са предполагали, че всеки от учениците знае поне един език.
Все пак, ако не е така. Избирането на 20 ученика, които знаят немски става по С(36,20). Да са избрани така, че k  в крайна сметка да не знаят нищо(8+k ще знаят и двата езика) може да стане по С(24,8+k).C(12,12-k) начина. Това последното трябва да се раздели на С(36,20) за да се види вероятността това да се случи(нека я означим с Рк).
За а) подточка, ако k не знаят нито един език, то може 4-мата да се изберат по С(16-k,2).C(12-k,2) начина. Последното разделено на С(36,4) нека е Qk и да отбележим, че е 0 при k>10. Та в крайна сметка трябва да намерим сумата на Pk.Qk при к от 0 до 10.
б) Нека Rk=(C(8+k,2).C(28-k,2) + C(8+k,3).C(28-k,1) + C(28-k,4))/C(36,4). Тука за к от 0 до 12 събираме Pk.Rk

Пак гледам задачата и там все пак не се предполага, че учениците се разпределят по случаен начин така, че да знаят 24 английски и 20 немски, така все повече ми се струва пропуск, че не е доуточнено , че всеки ученик знае поне един език.

Последна редакция: пн, 17 дек 2018, 13:48 от D2018

# 703
  • Мнения: 296
Някой от Пловдив да знае къде мога да видя задачите по математика за 4 клас от общинския кръг на националната олимпиада?

# 704
  • в страната на чудесата
  • Мнения: 8 293
Виж в темата математически турнири

Общи условия

Активация на акаунт