Публикувана: 26 юни 2018, 07:52 ч.
Последно мнение: 10 ян. 2019, 10:51 ч.

Математиката те тормози, тука във завидни дози ще намериш помагачи за по-трудните задачи

69 973
803
1

# 240 10 окт. 2018, 17:30 ч.

Мнения: 127

Цитат на: A m b e r в ср, 10 окт 2018, 16:23

Извадих учебника на за 8 клас на Анубис, обаче в съответния урок го няма това условие.Теоремите, доказателствата и задачите са само до срещуположните ъгли. Което не им пречи да пляснат задача в съответния учебник за 9 клас.

Гледах годишното разпределение и на Анубис - доста общо казано има: "Да знае необходими и достатъчни условия за вписани четириъгълници и да умее да ги прилага.", та е възможно е да става дума само за сумата на срещуположните ъгли да е 180 градуса. Поне има за вписан ъгъл "Да разпознава вписан ъгъл в окръжност, твърденията за него и да умее да ги прилага.". Не видях да има геометрично място на точки от което една отсечка се вижда под определен ъгъл. Та ако ги няма тези знания на готово, то ще трябва да си изкара сам. Прави описаната окръжност около ACD. Допуска , че B не е на окръжноста. Намира точка от окръжноста, която е на правата DB(да речем М) и заради съответните ъгли DAC=DMC, но то е равно и на DBC заради условието. Разглеждайки външните ъгли лесно стигаме до противоречие с допускането, че M е различно от B. И след като знаем, че е вписан в окръжност четириъгълника си довършваме задачата.

# 241 10 окт. 2018, 17:40 ч.

Мнения: 8 057

Лесно стигаме ние... едно дете без явен математически афинитет иска да му се обясни и покаже! И да е наясно, че може да го прилага без да го доказва всеки път... "Допускаме, че не е и доказваме противоречие" не е изобщо близко до ъкъла, не само за хора в тийн възраст Hands V

# 242 10 окт. 2018, 18:04 ч.

Мнения: 127

Цитат на: peneva_a в ср, 10 окт 2018, 17:40

Напълно съм съгласен. Наистина, ако не е отработено "Доказване на необходими и достатъчни условия за вписан четириъгълник, при който страна на четириъгълник да се вижда под равни ъгли от другите два върха.", то задачата си става с повишена трудност. В случая за "лесното" е след като си допуснал, че този четириъгълник може и да е вписан, решил си, че ще пробваш с допуснане на противното да докажеш, че той е вписан(т.е. допускаш, че не е вписан), забелязал си, че ъгъл DMC=DBC(не забравяш, че B, D и M са на една права) и чак тогава следва лесното да стигнеш до противоречието.

# 243 11 окт. 2018, 09:28 ч.

София
Мнения: 5 130

Цитат на: D2018 в ср, 10 окт 2018, 17:30

Цитат на: A m b e r в ср, 10 окт 2018, 16:23

Уви, тази прекрасна теорема в много учебници е неглижирана или се дава като задача. Аз винаги я доказвам и наблягам на нея, защото има задачи, които няма как да се решат, ако не се ползва.
Четириъгълник е вписан в окръжност <=> коя да е негова страна от другите два върха се вижда под един и същи ъгъл.

# 244 11 окт. 2018, 09:31 ч.

София
Мнения: 7 029

Благодаря на всички Flowers Hibiscus

# 245 11 окт. 2018, 16:28 ч.

Мнения: 5

Здравейте ! Ще съм ви много благодарна ако ми помогнете с решението на следната задача :
Майката на Илиян и Таня е 6 пъти по-възрастна от Илиян и 3 пъти по-възрастна от Таня. Баща им е 8 пъти по-възрастен от Илиян и 4 пъти по-възрастен от Таня. Общият брой на годините на семейството е 85. Кой на колко години е?
Благодаря ви много предварително !

# 246 11 окт. 2018, 16:40 ч.

Мнения: 8 057

За кой клас?

Пробвам като за 2-3клас (И години на Илиян, Т години на Таня, М години на майката, Б години на бащата)
М=6*И или М=3*Т
Б=8*И или Б=3*Т
Очевидно 6*И=3*Т Следователно Т=2*И

6*И+8*И+2*И+И=85
17*И=85
И=5,

Връщаме се горе и заместваме Т=10, М=30, Б=40

# 247 11 окт. 2018, 16:50 ч.

Мнения: 5

Цитат на: peneva_a в чт, 11 окт 2018, 16:40

Задачата е за 4 клас. Много ти благодаря за помощта !

# 248 11 окт. 2018, 17:09 ч.

Мнения: 127

Цитат на: jeniqa в нд, 07 окт 2018, 12:01

Здравейте имам проблем с разбирането на задачите по метода на Гаус
Ще съм много благодарна, ако някой ми обясни как се решават тези задачи, за да мога да обясня и на дъщеря си. Тя ходи на курс, но така и след няколко обяснения от господина, тя не успява да го разбере:

1. Задача
Сборът на 59 последователни естествени числа е 5900. Намерете най-голямото от тях.

2. Задача
Сборът на последователни нечетни числа, като се започва от 1, е по-малък от 2016. Намерете възможно най-голямото от числата.

3. Задача
Дребосъчето и Карлсон вземат последователно бонбони от една торбичка. Дребосъчето взема 1 бонбон, Карлсон - 2 бонбона, Дребосъчето взема 3 бонбона, Карлсон - 4 бонбона, и т.н. Когато бонбоните в торбичката останат по-малко от необходимите за вземане, този, който е на ред, взема всичките бонбони от нея. Когато всички бонбони са взети, се оказва, че Дребосъчето има 1012 бонбона. Колко бонбона е имало първоначално в торбичката и колко бонбона е взел Калрсон?

Погледнах в помагалото как е развита темата и какви задачи има. Ще дам формални решения на трите задачи, но преди това ще обърна внимание на някои неща.

Скрит текст:

Нещата, които излагам по-долу са най-вече за този, който ще се опита да помогне на 4-класник - предполагам за самият 4-класник ще изглежда малко сложничко.
Ако обобщим задачите, то имаме:
1) първи член на редицата - да речем а
2) константна разлика между всеки два елемента - нека я кръстим d(при всички задачи в урока d е между 1 и 4)
3) брой членове на редицата - нека са n
4) последният член на редицата, но няма да го кръстим, а ще видим в какви взаимовръзки е с горните 3 елемента
5) Сума на членовете S - ще поговорим повече за нея по-надолу
Като решавате такива задачи се опитвайте да отркиете тези елементи: дали са дадени, дали може да ги изчислите и т.н.
Да видим каква е връзката между първият и последният член. Имаме си първи член а, втори член а+d, трети член а+2d и т.н. На колко е равен последният n-ти член - на а+(n-1)d.
Какъв шаблон се опитват да наложат за намиране на сумата S от членовата на редичката? Ще представим сумата S като веднъж съберем членовете в нарастващ ред, щя я представим още веднъж като ги съберем в намаляващ ред, събираме двете сумички, забелязваме, че сборът на числата на една ѝ съща позиция от сумата дават константа и като знаем броя на членовете намираме 2S:
S = a + (a+d) + (a+2d) + .... + (a+(n-2)d) + (a+(n-1)d)
S = (a+(n-1)d) + (a+(n-2)d) .......... + (a+d) + a
--------------
2S = [a + (a+(n-1)d)] +[(a+d) + (a+(n-2)d)] + ..... + [(a+(n-2)d) + (a+d)] + [(a+(n-1)d) + a] = [2a + (n-1)d] + [2a + (n-1)d] + ... + [2a + (n-1)d] + [2a + (n-1)d] = n[2a + (n-1)d], т.е.
2S = n[2a + (n-1)d] - тъй като S е сума на цели числа трябва да очакваме, че дясната страна се дели на 2 и това е така: ако n четно е очевидно, ако е нечетно, то (n-1) е четно и в [] имаме четно число.
И така вече си имаме:
1) първи член - а
2) разлика - d
3) брой членове - n
4) последен член - а +(n-1)d
5) Сума на членовете S, като за 2S = n[2a + (n-1)d] - не е нужно да помним формулата важно е да знаем как да я изкараме и че тя зависи от първия член, разликата между членовете и броя на членовете

Основни типове задачи:
1) Знаем първи, втори и последен член и трябва да намерим сумата. Кой е първи член? Каква е разликата? Наясно ли сме, че за да получим всеки следващ член ще трябва да добавим точно тази разлика? Като имам първият и последният член може ли да изчислим колко пъти трябва да добавим тази разлика, че да получим от първият последният член(последен без първи разделен на разликата)? Ако знаем колко пъти сме добавили тази разлика, то колко са членовете на редицата(с едно повече)? Ако има затруднения с последното, то гледаме, че добавяме веднъж и има два члена, добавяме я 2 пъти и вече имаме 3 члена и т.н. След като имаме първи, последен член и бройката им прилагаме схемата и 2S=n(първи + последен), стремим се да съкратим на 2 преди да сме направили умножението...
2) Знаем първи, втори член и бройката и трябва да намерим последеният член(и/или сумата). Отговаряйки си на подобни на горните въпроси намираме разликата, забелязваме, че за последният член трябва да добавим (n-1) пъти тази разлика. Евентуално сумата по шаблона.
3) (точно такава е първата задача)Знаем бройката на членовете, знаем разликата между тях и сумата и трябва да намерим първият член(или последният или самата редица, но като знаем първи член разлика и бройка и предишната задача, то няма проблем да се справим). Тука не знаем първият член, но пък знаем сумата. Дали не може да го използваме? Може да работим по два начина:
3.1) Забеляза ли като използвахме шаблончето на колко беше равна удвоената сума(на броян на членовете по сумата от първия и последният член)? Ама ние знам бройката на членовете, какво може да намерим(сбора на първият и последният член)? Като знаем, бройката, разликата между два члена, сбора на първият и последният член, то няма ли начин да нмерим на колко е равен първият член? Вече не решавахме задачка, в която намерихме връзка между първият и последният член като знаехме бройката и разликата? Дали не може да изчислим с колко е по-голям последният член от първият? Като знаем с колко е по-голям и имаме техният сбор дали не може да изчислим на колко е равен първият член?
3.2) Не знаем първият член - нека си го означим с x. Ако първият член е х, то ще можем ли да намерим последният като знаем разликата и бройката на членовете(х + (n-1)d)? А сега дали не можем да приложим шаблончето за сумата, която я знаем и да видим дали не може да намерим това х(първият член)?
4) Знаем първия член, знаем бройката, знаем сумата и да намерим редицата(т.е. не знаем разликата). Не видях да има такава задача в помагалото, но не пречи да се даде на някое състезание. Може да разсъждаваме подобно на 3.1 и да намерим разликата или да въведем х за нея, общ вид на редицата като участва х, прилагане на шаблончето и там да намерим х.
5) Знаем първия член, знаем разликата, знаем сумата и трябва да намерим колко са членовете на редицата(или пък цялата редица или най-големият ѝ член). Не видях да има такава задача в помагалото, а тя би била преходна към задача 2 и 3, които искаме да решим. Първоначално може да си поиграем като учителя на Гаус и да нмерим сбора на първите 2, 3, 4, 5 елемента. Да стигнем до заключение, че ако смятаме правилно все някога ще стигнем до последният елемент на редичката, при който ще се получи дадената сума, но след първите няколко пресмятания ако все още сме твърде далеч ще трябва да помислим, за нещо по-хитро. Вече трудно ще можем да избегнем въвеждане на променлива за бройката, ако редичката не е от сравнително малко членове(2,3,5 или можеби 10). Връщаме се към елементите на такива редички - имаме първия член, имаме разликата, имаме сумата, не знам бройката, от където не можем да намерим последният елемент. Нека означим бройката с х. Тогава на колко ще е равен последият елемент(a +(x-1)d)? Като приложим шаблона за сумата дали няма да достигнем до нещо от което да намерим бройката(2S=х[2a+(х-1)d])? Не е нещо за което имаме рецепта за решаване, но дали не можем да се справим да го решим? Нека видим за няколко стойности на х какво се получава(1,2,10,100)? Тъй като х е бройка на членовете какво може да очакваме от израза в дясно(който е удвоената сума на тези членове), когато х расте(и той да расте)? От проверката с няколкото стойности какво получихме, дали лека по лека не можем да намерим една стойнст на х, за която израза е по-малък и една стойност, за която е по-голям? След това лека по лека да стесним този интервал докато получим това х, за което се получава равенство. Как най-бързо може да стесним този интервал(всеки път да го разделяме на 2 сравнително равни части)?

По-нататък нещата се усложняват и излизат от типизация(като задача 2 и 3), но ако сме усвоили типичните задачи, обърнали сме внимание на различните елементи в тези задачи и доста желание трябва да се справим и с тях.

1. Задача
Сборът на 59 последователни естествени числа е 5900. Намерете най-голямото от тях.
Решение:

Скрит текст:

Знам, че вече е решена във форума, но ползвайки шаблона се получават по-лесни сметки. Следвайки 3.2)

Нека първото число в редицата е х. Последното(59-то) ще е х+58 или редицата ще изглежда х, х+1, х+2, ..., х+58. Сумата 5900 = x + x+1 + .. + x+58, но също имаме и 5900 = х+58 + х+57 + ... + х+1 + х. Събираме двете представяния на сумата, като в дясната част правим почленно събиране и имаме 2.5900=59.(2x+58), 2.100=2x+58, 100=x+29, x=71. Най-големият член е х+58 или 71+58=129.

2. Задача
Сборът на последователни нечетни числа, като се започва от 1, е по-малък от 2016. Намерете възможно най-голямото от числата.
Решение:

Скрит текст:

Имаме първи член 1, имаме разликата 2, но ни липсва бройката(от която би трябвало вече лесно да можем да намерим най-големият член на редицата), а пък сумата не я знаем точно. Ако знаехме сумата щеше да е 5) тип задача. Но пък в 5) тип задача помогна ли ни много това, че знаехме точно колко е сумата - не много пак си играхме с изрази за определни стойности на бройката, от които за сумата получавахме повече или по-малко от исканата сума. Дали не можем и тук така да си поиграм? Докато стигнем до 2 последвателни числа, при което едното е по-малко от 2.2016, а другото по-голямо или равно? В случая ще се окаже, че може да разделим на 2 в дясно и се получава по простичък израз от общия показан в задачите от тип 5)

Нека х е възможно най-голямо естествено число, такова, че сумата на първите х нечетни числа е по-малко от 2016. х-тото нечетно число е 1 +(х-1)2=2х-1. Прилагаме шаблона за сумата на тези числа и 2S=x(1 + (2x-1))=x.2x или S=x.x. При x=40, S=1600; x=50, S=2500; x=45, S=2025; x=44, S=1936. Най-голямото х е 44, следователно най-голямият член на редицата е 1 + 2.(44-1)=87

Скрит текст:

(интерено отговорът в помагалото е 43).
Тук правим едно интересно откритие, което доста често се използва на състезания - сборът на първите n нечетени числа е равен на n.n. Може да си поиграете и по геометирчен начин да го получите - примерно една мрежа 10х10 и започвате от горен ляв ъгъл постепенно да запълвате квадратчета, така, че прваначално 1х1 да са запълнение, като запълним още 3(2-рото нечетно число) да са запълнени 2х2 и т.н., запълваме последните 19(10-тото нечетно число) и сме запълнили целият квадрат 10х10.

3. Задача
Дребосъчето и Карлсон вземат последователно бонбони от една торбичка. Дребосъчето взема 1 бонбон, Карлсон - 2 бонбона, Дребосъчето взема 3 бонбона, Карлсон - 4 бонбона, и т.н. Когато бонбоните в торбичката останат по-малко от необходимите за вземане, този, който е на ред, взема всичките бонбони от нея. Когато всички бонбони са взети, се оказва, че Дребосъчето има 1012 бонбона. Колко бонбона е имало първоначално в торбичката и колко бонбона е взел Калрсон?
Решение:

Скрит текст:

В помагалаото в отговорите е дадено нещо, но как стигаш до 1 + 3 + ... + 61 = 961 - по скоро как определяш, че най-големият член е 61 не е ясно - освен по метода на учителя на Гаус да започнеш да събираш нечетните числа.

Дребосъчето е взимало нечетен брой бонбони до евентуално последният път, когато е взело каквото е останало. Нека Дребосъчето х пъти е взимало нечетен брой бонбони и х+1-вия път е взело каквото е останало(ако е останало 0, то няма х+1 вземане и играта е свършила с Карлсон), което е по-малко от х+1-вото нечетено число. х-тото нечетно число е 1 +(х-1)2=2х-1. Прилагаме шаблона за сумата на тези числа и 2S=x(1 + (2x-1))=x.2x или S=x.x. При х=30, S=900; x=40, S=1600; x=35, S=1225; x=32, S=1024; x=31, S=961. Следователно Дребосъчето след първите 31 пъти е взело първите 31 нечетни числа бонбони или 961 бонбона, а 32-рия път е взело 1012-961=51. 31-вото нечетно число е 1+2.(31-1)=61. След като Дребосъчето е взело 61 бонбона, Карлсон е взел 62 и след това играта свършва с взимането на 51 бонбона от Дребосъчето. Следователно Карлсон е взел първите 31 четни числа от 2 до 62 и за тяхната сума прилагайки шаблона имаме 2S=31(2+62), 2S=31.64, S=31.32, S=992. Общо двамата са взели 1012 + 992=2004

Последна редакция: чт, 11 окт 2018, 17:34 от D2018